Упр.10.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 42. Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, причём его сторона равна $$a$$. Тогда

$$AB=BC=CD=DA=a.$$

Рассмотрим векторы диагоналей $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$.

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$

По правилу параллелограмма

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}.$$

Найдём их скалярное произведение:

$$ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} =(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}) $$

$$ =\overrightarrow{BC}^2-\overrightarrow{AB}^2. $$

Так как $$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=a$$, то

$$ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD} =BC^2-AB^2=a^2-a^2=0. $$

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, значит, эти векторы перпендикулярны. Следовательно,

$$AC\perp BD.$$

Ответ

Диагонали ромба перпендикулярны: $$AC\perp BD$$.