Упр.5.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.

Рассмотрим прямые $$a$$ и $$b$$ и данное расстояние $$h$$.

1. Если прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны и расстояние между ними равно $$h$$, то искомой является любая точка прямой $$a$$.
2. Если прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, но расстояние между ними не равно $$h$$, то такой точки не существует.
3. Если прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются, то поступим так:
   1. на прямой $$b$$ отметим произвольную точку $$B$$;
   2. через точку $$B$$ проведём перпендикуляр к прямой $$b$$;
   3. на этом перпендикуляре отложим отрезки $$BB_1$$ и $$BB_2$$ длиной $$h$$;
   4. через точки $$B_1$$ и $$B_2$$ проведём прямые $$b_1$$ и $$b_2$$, перпендикулярные соответствующим перпендикулярам;
   5. прямые $$b_1$$ и $$b_2$$ параллельны прямой $$b$$ и отстоят от неё на расстояние $$h$$, значит, они являются геометрическим местом точек, находящихся на расстоянии $$h$$ от прямой $$b$$;
   6. точки пересечения прямой $$a$$ с прямыми $$b_1$$ и $$b_2$$, то есть $$A_1$$ и $$A_2$$, и будут искомыми.

Таким образом, искомая точка на прямой $$a$$ существует либо одна, либо две, либо не существует — в зависимости от взаимного расположения прямых $$a$$ и $$b$$.