Упр.4.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Из вершины тупого угла $$B$$ треугольника $$ABC$$ проведена высота $$BD$$. Найдите углы треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$, зная, что $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$.

Так как $$BD$$ — высота, то

$$\angle BDC=\angle BDA=90^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-(\alpha+\beta).$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$:

$$\angle BAD+\angle ADB+\angle DBA=180^\circ.$$

Так как $$\angle BAD=\angle A=\alpha$$, а $$\angle ADB=90^\circ$$, то

$$\angle DBA=180^\circ-\alpha-90^\circ=90^\circ-\alpha.$$

Теперь найдём угол $$\angle DBC$$. В треугольнике $$ABC$$

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC,$$

откуда

$$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=\beta-(90^\circ-\alpha)=\alpha+\beta-90^\circ.$$

В треугольнике $$BDC$$ тогда

$$\angle DCB=180^\circ-\angle BDC-\angle DBC=180^\circ-90^\circ-(\alpha+\beta-90^\circ)=180^\circ-\alpha-\beta.$$

Итак, углы треугольников равны:

$$\triangle ABD:\ \angle BAD=\alpha,\ \angle ADB=90^\circ,\ \angle DBA=90^\circ-\alpha;$$

$$\triangle CBD:\ \angle BDC=90^\circ,\ \angle DBC=\alpha+\beta-90^\circ,\ \angle DCB=180^\circ-\alpha-\beta.$$