Упр.14.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Выведите следующие формулы для радиусов описанной $$R$$ и вписанной $$r$$ окружностей треугольника: $$R=\frac{abc}{4S}$$, $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — стороны треугольника, а $$S$$ — его площадь.

Пусть $$\triangle ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$AC=b$$, а $$S$$ — его площадь.

1. Формула для радиуса описанной окружности

Обозначим через $$R$$ радиус описанной окружности, а через $$O$$ — её центр. Тогда

$$OA=OB=OC=R.$$

Пусть $$\angle BAC=\alpha$$. Этот угол вписанный, значит соответствующий центральный угол

$$\angle BOC=2\alpha.$$

В равнобедренном треугольнике $$BOC$$ проведём медиану $$OM$$ к стороне $$BC$$. Она является одновременно высотой и биссектрисой, поэтому

$$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}, \qquad OM\perp BC, \qquad \angle BOM=\alpha.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOM$$:

$$\sin\alpha=\frac{BM}{BO}=\frac{a/2}{R}=\frac{a}{2R}.$$

С другой стороны, площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin\angle BAC=\frac{1}{2}bc\sin\alpha,$$

откуда

$$\sin\alpha=\frac{2S}{bc}.$$

Подставим это в формулу для $$\sin\alpha$$:

$$\frac{a}{2R}=\frac{2S}{bc}.$$

Тогда

$$R=\frac{abc}{4S}.$$

2. Формула для радиуса вписанной окружности

Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности, а $$O$$ — её центр. Опустим перпендикуляры из точки $$O$$ на стороны треугольника:

$$OA_1\perp BC,\qquad OB_1\perp AC,\qquad OC_1\perp AB.$$

Тогда

$$OA_1=OB_1=OC_1=r.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна сумме площадей трёх треугольников:

$$S=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OCA}.$$

Следовательно,

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OC_1+\frac{1}{2}\cdot BC\cdot OA_1+\frac{1}{2}\cdot AC\cdot OB_1$$

$$S=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br=\frac{1}{2}r(a+b+c).$$

Отсюда

$$r=\frac{2S}{a+b+c}.$$

Ответ: $$R=\frac{abc}{4S},\qquad r=\frac{2S}{a+b+c}.$$