Упр.11.42 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.

Пусть треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны. Тогда

$$\angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1,\quad \angle C=\angle C_1,$$

а также

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}=k.$$

Проведём высоты $$BH$$ и $$B_1H_1$$ этих треугольников. Тогда прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$ подобны: у них

$$\angle A=\angle A_1,$$

а также

$$\angle AHB=\angle A_1H_1B_1=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\frac{B_1H_1}{BH}=\frac{A_1B_1}{AB}=k.$$

Значит, соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Аналогично доказывается это для высот, проведённых из других вершин.