Упр.10.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Векторы $$\mathbf{a}+\mathbf{b}$$ и $$\mathbf{a}-\mathbf{b}$$ перпендикулярны. Докажите, что $$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$$.

Так как векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=0.$$

Раскроем скобки:

$$\vec a\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b=0.$$

Но

$$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2,\qquad \vec b\cdot\vec b=|\vec b|^2.$$

Тогда

$$|\vec a|^2-|\vec b|^2=0,$$

откуда

$$|\vec a|^2=|\vec b|^2.$$

Так как длины векторов неотрицательны, получаем

$$|\vec a|=|\vec b|.$$