Упр.5.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: геометрическое место точек, удаленных от данной прямой
на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной прямой
и отстоящих от нее на расстояние h;
Доказательство:
1) Пусть a-данная прямая, а b1 и b2-прямые параллельные данной
и отстоящие от нее на расстояние h;
2) На прямых b1 и b2 отметим произвольные точки B1 и B2;
3) Через точку B1 опустим перпендикуляр B1 A1 на прямую a, данный
перпендикуляр является расстоянием между прямыми a и b1, значит:
A1 B1=h;
3) Через точку B2 опустим перпендикуляр B2 A2 на прямую a, данный
перпендикуляр является расстоянием между прямыми a и b2, значит:
A2 B2=h;
8) Таким образом, случайные точки прямых b1 и b2 удалены от
прямой a на расстояние h, значит эти прямые являются геометрическим
местом точек равноудаленных от данной прямой на расстояние h, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — данная прямая. Проведём две прямые $$b_1$$ и $$b_2$$, параллельные прямой $$a$$ и отстоящие от неё на расстояние $$h$$.

Возьмём произвольную точку $$B_1$$ на прямой $$b_1$$ и опустим из неё перпендикуляр $$B_1A_1$$ на прямую $$a$$. Так как расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра между ними, то

$$A_1B_1=h.$$

Аналогично, для произвольной точки $$B_2$$ на прямой $$b_2$$, если опустить перпендикуляр $$B_2A_2$$ на прямую $$a$$, получим

$$A_2B_2=h.$$

Значит, каждая точка прямых $$b_1$$ и $$b_2$$ удалена от прямой $$a$$ на расстояние $$h$$.

Обратно, если точка удалена от прямой $$a$$ на расстояние $$h$$, то она лежит на одной из двух прямых, параллельных $$a$$ и находящихся от неё на расстоянии $$h$$ по разные стороны от прямой.

Следовательно, геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на расстояние $$h$$, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от неё на расстояние $$h$$.