Упр.7.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Даны три положительных числа $$a$$, $$b$$, $$c$$. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами $$a$$, $$b$$, $$c$$.

Подробный ответ

Пусть на плоскости найдутся точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ такие, что $$AB=c$$, $$BC=a$$ и $$AC=b$$.

По условию каждое из чисел $$a$$, $$b$$, $$c$$ меньше суммы двух других, значит

$$AB<BC+AC,\quad BC<AB+AC,\quad AC<AB+BC.$$

Предположим, что точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не являются вершинами треугольника. Тогда они лежат на одной прямой. Но если бы одна из точек лежала между двумя другими, то для соответствующих отрезков было бы равенство суммы двух отрезков третьему, например $$AB=AC+CB$$, $$BC=BA+AC$$ или $$AC=AB+BC$$. Это противоречит неравенствам выше.

Значит, ни одна из точек не лежит между двумя другими, следовательно, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не могут быть коллинеарны. Тогда они являются вершинами треугольника, у которого стороны равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Ответ: существует треугольник со сторонами $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

3.6 / 5

Другие учебники