Упр.5.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на расстояние $$h$$, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от неё на расстояние $$h$$.
Пусть $$a$$ — данная прямая. Проведём к ней две прямые $$b_1$$ и $$b_2$$, параллельные $$a$$ и отстоящие от неё на расстояние $$h$$.
Возьмём произвольную точку $$B_1 \in b_1$$ и опустим из неё перпендикуляр $$B_1A_1$$ на прямую $$a$$. Так как расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра между ними, то
$$A_1B_1=h.$$
Аналогично, для любой точки $$B_2 \in b_2$$, если опустить перпендикуляр $$B_2A_2$$ на прямую $$a$$, получим
$$A_2B_2=h.$$
Значит, каждая точка прямых $$b_1$$ и $$b_2$$ удалена от прямой $$a$$ на расстояние $$h$$.
Обратно, если точка удалена от прямой $$a$$ на расстояние $$h$$, то через неё можно провести прямую, параллельную $$a$$; все точки такой прямой будут находиться от $$a$$ на одном и том же расстоянии $$h$$. Следовательно, геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на расстояние $$h$$, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от неё на расстояние $$h$$.
