Упр.4.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

• Из вершины прямого угла треугольника $$ABC$$ проведена высота $$BD$$. Найдите угол $$\angle CBD$$, зная, что: 1) угол $$A=20^\circ$$; 2) угол $$A=65^\circ$$; 3) угол $$A=\alpha$$.

Так как $$BD$$ — высота, то $$\angle ADB=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$:

$$\angle BAD+\angle ADB+\angle DBA=180^\circ$$

$$\angle DBA=180^\circ-\angle BAD-\angle ADB=180^\circ-\angle A-90^\circ=90^\circ-\angle A$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$BDC$$:

$$\angle BDC=90^\circ$$

$$\angle CBD+\angle BCD=90^\circ$$

Но угол $$\angle BCD$$ равен углу $$\angle A$$, поэтому

$$\angle CBD=90^\circ-\angle DBA=90^\circ-(90^\circ-\angle A)=\angle A$$

Следовательно:

1. при $$\angle A=20^\circ$$ получаем $$\angle CBD=20^\circ$$;
2. при $$\angle A=65^\circ$$ получаем $$\angle CBD=65^\circ$$;
3. при $$\angle A=\alpha$$ получаем $$\angle CBD=\alpha$$.

Ответ: $$20^\circ;\ 65^\circ;\ \alpha$$.