Упр.15.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
По стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите объём правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.
Обозначим через $$O$$ центр основания правильной пирамиды, а через $$H$$ — середину стороны основания. Тогда $$OH$$ — апофема основания, а высота пирамиды $$PO$$ находится из прямоугольного треугольника $$POA$$:
$$PA=b,\quad OA=R,$$
$$PO=\sqrt{b^2-R^2}.$$
Для правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности равен
$$R=\frac{a}{2\sin \frac{180^\circ}{n}}.$$
Тогда высота пирамиды:
$$PO=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 \frac{180^\circ}{n}}}.$$
Площадь основания правильного $$n$$-угольника:
$$S_{\text{осн}}=\frac{na^2}{4\tan \frac{180^\circ}{n}}.$$
Следовательно, объём пирамиды равен
$$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot PO =\frac{na^2}{12\tan \frac{180^\circ}{n}} \sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 \frac{180^\circ}{n}}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
Для правильной треугольной пирамиды $$n=3$$:
$$V=\frac{3a^2}{12\tan 60^\circ}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 60^\circ}} =\frac{a^2}{4\sqrt3}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}} =\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}.$$
Для правильной четырёхугольной пирамиды $$n=4$$:
$$V=\frac{4a^2}{12\tan 45^\circ}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 45^\circ}} =\frac{a^2}{3}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}} =\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}.$$
Для правильной шестиугольной пирамиды $$n=6$$:
$$V=\frac{6a^2}{12\tan 30^\circ}\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 30^\circ}} =\frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}.$$
Ответ: 1) $$\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}$$; 2) $$\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}$$; 3) $$\frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}$$.
