Упр.14.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями $$AC$$ и $$BD$$ наибольшую площадь имеет ромб.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм с данными диагоналями $$AC$$ и $$BD$$, а его площадь равна $$S$$.

По формуле площади параллелограмма через диагонали и угол между ними имеем:

$$S=\frac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \angle AOD.$$

Так как $$\sin \angle AOD \le 1$$, то наибольшая площадь достигается при

$$\sin \angle AOD=1,$$

то есть при $$\angle AOD=90^\circ.$$

Точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$AOD$$. У них попарно равны катеты, следовательно, равны и гипотенузы:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Значит, параллелограмм $$ABCD$$ имеет равные стороны, то есть является ромбом. Следовательно, среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.

Ответ

Наибольшую площадь среди параллелограммов с данными диагоналями имеет ромб.