Упр.13.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Решите задачу 40 для правильного 12-угольника.

Пусть $$R$$ — радиус описанной окружности, а $$a_{12}$$ — сторона правильного 12-угольника.

По формуле для стороны правильного 12-угольника, вписанного в окружность, имеем:

$$a_{12}=R\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Тогда периметр 12-угольника равен

$$P=12a_{12}=12R\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Диаметр окружности $$d=2R$$, поэтому

$$\frac{P}{d}=\frac{12R\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2R}=6\sqrt{2-\sqrt{3}}.$$

Вычислим приближённо:

$$\sqrt{3}\approx 1{,}73,\qquad 2-\sqrt{3}\approx 0{,}27,$$

$$\sqrt{0{,}27}\approx 0{,}52,$$

$$\frac{P}{d}\approx 6\cdot 0{,}52\approx 3{,}11.$$

Сравним с $$\pi\approx 3{,}14$$: полученное отношение немного меньше числа $$\pi$$.

Ответ: $$\frac{P}{d}\approx 3{,}11,\quad \text{это меньше } \pi.$$