Упр.6.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в прямоугольный треугольник с катетами 2 м вписан квадрат,
имеющий с треугольником общий угол;
Найти: периметр квадрата;
Решение:
1) Пусть ABC-данный прямоугольный треугольник, у которого
угол B=90° и AB=BC=2 м, а BA1 B1 C1-вписанный в него квадрат;
2) Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то:
угол A = углу C=(180°-90°)/2=45°;
3) BA1 B1 C1-квадрат, значит: BC1 перпендикулярен C1 B1 и BA1=A1 B1=B1 C1=C1 B;
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AC1 B1:
угол C1=90° и угол A=45°, значит угол B1=90°-45°=45°, следовательно
этот треугольник равноберенный, отсюда C1 B1=AC1;
5) Найдем периметр квадрата BA1 B1 C1:
P(BA1 B1 C1)=BA1+A1 B1+B1 C1+C1 B=2(C1 B1+C1 B)=2(AC1+C1 B);
P(BA1 B1 C1)=2•AB=2•2=4 м;
Ответ: 4 м.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный равнобедренный треугольник, где $$\angle B=90^\circ$$ и $$AB=BC=2\text{ м}$$. В него вписан квадрат $$BA_1B_1C_1$$, имеющий с треугольником общий угол.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный прямоугольный, то

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

В квадрате $$BA_1B_1C_1$$ все стороны равны, значит

$$BA_1=A_1B_1=B_1C_1=C_1B.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AC_1B_1$$. У него $$\angle C_1=90^\circ$$, а $$\angle A=45^\circ$$, следовательно

$$\angle B_1=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Значит, треугольник $$AC_1B_1$$ равнобедренный, поэтому

$$C_1B_1=AC_1.$$

Тогда периметр квадрата равен

$$P_{BA_1B_1C_1}=BA_1+A_1B_1+B_1C_1+C_1B=2(C_1B_1+C_1B)=2(AC_1+C_1B).$$

Но $$AC_1+C_1B=AB$$, значит

$$P_{BA_1B_1C_1}=2\cdot AB=2\cdot 2=4\text{ м}.$$