Упр.9.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

По одну сторону от железной дороги расположены два населённых пункта. В каком месте следует построить железнодорожную платформу данной длины, чтобы сумма расстояний от неё до населённых пунктов была наименьшей? (Два случая.)

Подробный ответ

Пусть $$M_1M_2$$ — длина платформы, а $$A’$$ и $$B’$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и $$B$$ на железную дорогу.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$M_1M_2<A’B’$$

Построим точку $$A_1$$ так, чтобы $$AA_1\parallel M_1M_2$$ и $$AA_1=M_1M_2$$. На продолжении перпендикуляра $$BB’$$ отложим $$B’B_1= M_1M_2$$. Тогда четырехугольник $$AA_1M_2M_1$$ — параллелограмм, значит

$$A_1M_2=AM_1.$$

Кроме того, треугольник $$BB_1M_2$$ равнобедренный, поэтому

$$B_1M_2=M_2B.$$

Следовательно,

$$AM_1+M_2B=A_1M_2+M_2B_1=A_1B_1.$$

Сумма расстояний минимальна тогда, когда путь от $$A_1$$ до $$B_1$$ проходит через точки $$M_1$$ и $$M_2$$ по прямой, то есть платформу нужно расположить так, чтобы её концы лежали на прямой $$A_1B_1$$, а сама платформа была параллельна железной дороге.

2. Если $$M_1M_2\ge A’B’$$

В этом случае платформу следует расположить так, чтобы отрезок $$A’B’$$ целиком лежал внутри отрезка $$M_1M_2$$. Тогда расстояния от точек $$A$$ и $$B$$ до платформы равны длинам перпендикуляров $$AA’$$ и $$BB’$$, а они наименьшие из всех возможных расстояний от точки до прямой.

Итак, если длина платформы меньше $$A’B’$$, её нужно поставить так, чтобы после отражения точек $$A$$ и $$B$$ относительно железной дороги получился кратчайший путь между отражёнными точками; если же длина платформы не меньше $$A’B’$$, платформу можно расположить так, чтобы отрезок $$A’B’$$ лежал внутри неё.