Упр.7.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Даны три положительных числа $$a$$, $$b$$, $$c$$, удовлетворяющие условиям $$a \leq b \leq c < a+b$$. Докажите последовательно утверждения:
1) $$0 < \frac{c^2+a^2-b^2}{2c} < a$$;
2) существует прямоугольный треугольник $$BCD$$, у которого гипотенуза $$BC=a$$, а катет $$BD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}$$ (рис. 167);
3) треугольник $$ABC$$, у которого $$BC=a$$, $$AB=c$$, а расстояние $$BD$$ равно $$\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}$$, имеет сторону $$AC=b$$ (см. рис. 167).

Подробный ответ

Пусть $$x=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}.$$ Докажем последовательно требуемые утверждения.

1)

Из условия $$c<a+b$$ получаем $$c-a<b.$$

Так как все числа положительны, то при возведении в квадрат знак неравенства сохраняется:

$$(c-a)^2<b^2$$

$$c^2-2ac+a^2<b^2$$

$$c^2+a^2-b^2<2ac.$$

Поскольку $$2c>0,$$ делим обе части на $$2c$$:

$$\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}<a.$$

С другой стороны, из $$c\ge b$$ следует $$c^2-b^2\ge 0,$$ а значит

$$c^2+a^2-b^2>0.$$

Следовательно,

$$0<\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}<a.$$

2)

Из пункта 1 известно, что $$0<x<a.$$ Значит, можно построить прямоугольный треугольник $$BCD$$ с гипотенузой $$BC=a$$ и катетом $$BD=x.$$ Тогда

$$BD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}.$$

3)

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, в котором $$BC=a,$$ $$AB=c,$$ а точка $$D$$ лежит на стороне $$AB$$ и $$BD=x.$$ Тогда

$$AD=AB-BD=c-\frac{c^2+a^2-b^2}{2c} =\frac{2c^2-c^2-a^2+b^2}{2c} =\frac{c^2-a^2+b^2}{2c}.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$BDC$$:

$$CD^2=BC^2-BD^2=a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)^2.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ADC$$:

$$AC^2=AD^2+CD^2$$

$$AC^2=\left(\frac{c^2-a^2+b^2}{2c}\right)^2+a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}\right)^2.$$

После упрощения получаем:

$$AC^2=b^2.$$

Так как длина стороны положительна, то

$$AC=b.$$

Ответ: $$0<\frac{c^2+a^2-b^2}{2c}<a,$$ существует прямоугольный треугольник $$BCD$$ с $$BC=a$$ и $$BD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2c},$$ а в треугольнике $$ABC$$ получается $$AC=b.$$