Упр.13.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 40. Найдите отношение периметра правильного вписанного восьмиугольника к диаметру окружности и сравните его с приближённым значением n. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 13-40 76

Пусть $$R$$ — радиус окружности, а $$a_8$$ — сторона правильного вписанного восьмиугольника.

Для правильного восьмиугольника

$$a_8=R\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Тогда периметр восьмиугольника равен

$$P=8a_8=8R\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Диаметр окружности $$d=2R$$, поэтому

$$\frac{P}{d}=\frac{8R\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2R}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Вычислим приближённо:

$$\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx \sqrt{2-1{,}414}=\sqrt{0{,}586}\approx 0{,}765,$$

значит

$$\frac{P}{d}\approx 4\cdot 0{,}765\approx 3{,}06.$$

Сравним с числом $$\pi\approx 3{,}14$$: полученное отношение меньше $$\pi$$.

Ответ

$$\frac{P}{d}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 3{,}06,\quad \text{это меньше } \pi.$$