Упр.9.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: по одну сторону от железной дороги расположены два
населенных пункта A и B;
Найти: в каком месте следует построить железнодорожную платформу
данной длины, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов
была наименьшей;
Решение:
Пусть отрезок M1 M2 равен длине железнодорожной платформы;
Опустим из точек A и B перпендикуляры A’ и B’ на железную дорогу;
I) Рассмотрим случай, когда M1 M2 < A' B': 1) Переместим точку A в точку A1 по прямой, параллельной железной дорогеб, на расстояние M1 M2 в сторону точки B; 2) На продолжении перпендикуляра BB' отложим отрезок B' B1; 3) На пересечении прямой A1 B1 и железной дороги отметим точку M2; 4) На железной дороге от точки M2 отложим отрезок M2 M1 в сторону точки A'; 5) Четырехугольник AA1 M2 M1 является параллелограммом, так как AA1 ||M1 M2 и AA1=M1 M2, отсюда A1 M2=AM1; 6) Треугольник BB1 M2-равнобедренный, так как у него высота M2 B' является еще и медианой, отсюда: B1 M2=M2 B; 7) AM1+M2 B=A1 M2+M2 B1=A1 B1, следовательно длины отрезков AM1 и M2 B-минимальны. II) Рассмотрим случай, когда M1 M2?A' B': 1) В данном случае платформу следует расположить любым образом так, чтобы отрезок A' B' лежал внутри отрезка M1 M2; 2) Расстояние между точкой A и отрезком M1 M2 будет равно длине перпендикуляра AA', а расстояние между точкой B и M1 M2-длине перпендикуляра BB'; 3) Так как длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, является расстоянием между ними, то длины отрезков AA' и BB'- минимальны.

Обозначим концы платформы через $$M_1$$ и $$M_2$$, причём $$M_1M_2$$ — её длина. Из точек $$A$$ и $$B$$ опустим перпендикуляры $$AA’$$ и $$BB’$$ на железную дорогу.

1) Если $$M_1M_2<A’B’$$, то построим точки $$A_1$$ и $$B_1$$ так, чтобы $$AA_1\parallel M_1M_2$$, $$AA_1=M_1M_2$$, а точка $$B_1$$ лежала на продолжении перпендикуляра $$BB’$$ и $$B’B_1= M_1M_2$$. Тогда четырёхугольник $$AA_1M_2M_1$$ — параллелограмм, значит

$$A_1M_2=AM_1.$$

Треугольник $$BB_1M_2$$ равнобедренный, поэтому

$$B_1M_2=M_2B.$$

Следовательно,

$$AM_1+M_2B=A_1M_2+M_2B_1=A_1B_1.$$

Сумма расстояний минимальна, когда путь от $$A_1$$ до $$B_1$$ проходит по прямой, то есть платформу нужно расположить так, чтобы точки $$M_1$$ и $$M_2$$ получались указанным построением.

2) Если $$M_1M_2\ge A’B’$$, то платформу следует расположить так, чтобы отрезок $$A’B’$$ целиком лежал внутри $$M_1M_2$$. Тогда расстояния от точек $$A$$ и $$B$$ до платформы равны длинам перпендикуляров $$AA’$$ и $$BB’$$, а они являются наименьшими возможными расстояниями от точки до прямой.

Итак, в первом случае платформу надо поставить так, чтобы после указанного отражения точки $$A$$ и $$B$$ соединялись прямой, а во втором — так, чтобы отрезок $$A’B’$$ лежал внутри платформы.

Ответ

Если $$M_1M_2<A’B’$$, платформу располагают по построению через отражение одной из точек относительно железной дороги; если $$M_1M_2\ge A’B’$$, платформу ставят так, чтобы отрезок $$A’B’$$ лежал внутри неё.