Упр.3.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, образованным с ней медианой.

Пусть $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — данные треугольники, причём $$AC=A_1C_1$$, $$BM=B_1M_1$$ и $$\angle BMA=\angle B_1M_1A_1$$.

Так как $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — медианы, то

$$AM=\frac12 AC,\qquad A_1M_1=\frac12 A_1C_1.$$

Из равенства $$AC=A_1C_1$$ получаем

$$AM=A_1M_1.$$

Углы $$\angle BMC$$ и $$\angle B_1M_1C_1$$ равны как смежные с равными углами $$\angle BMA$$ и $$\angle B_1M_1A_1$$.

Тогда треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$ равны по первому признаку, откуда

$$AB=A_1B_1.$$

Аналогично треугольники $$BMC$$ и $$B_1M_1C_1$$ равны по первому признаку, следовательно,

$$BC=B_1C_1.$$

Итак, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны три стороны:

$$AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad AC=A_1C_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по третьему признаку равенства треугольников.