Упр.13.40 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите отношение периметра правильного вписанного восьмиугольника к диаметру окружности и сравните его с приближённым значением $$\pi$$.

Пусть $$R$$ — радиус окружности, а $$a_8$$ — сторона правильного вписанного восьмиугольника.

Тогда по формуле для стороны правильного восьмиугольника

$$a_8=R\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Периметр восьмиугольника равен

$$P=8a_8=8R\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Диаметр окружности $$d=2R$$, поэтому

$$\frac{P}{d}=\frac{8R\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2R}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$

Вычислим приближённо:

$$\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx \sqrt{2-1{,}414}=\sqrt{0{,}586}\approx 0{,}765,$$

значит

$$\frac{P}{d}\approx 4\cdot 0{,}765\approx 3{,}06.$$

Сравним с числом $$\pi\approx 3{,}14$$: полученное отношение меньше $$\pi$$.

Относительное отклонение от $$\pi$$:

$$\delta=\left|\frac{3{,}06-3{,}14}{3{,}14}\right|\approx \frac{0{,}08}{3{,}14}\approx 0{,}025\approx 2{,}5\%.$$

Ответ: $$\frac{P}{d}=4\sqrt{2-\sqrt{2}}\approx 3{,}06$$, это меньше $$\pi$$; отклонение составляет примерно $$2{,}5\%$$.