Упр.6.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$, где $$AB=BC=5\text{ м}$$. Проведены прямые $$DE \parallel BC$$ и $$DF \parallel AB$$, поэтому четырёхугольник $$DEBF$$ — параллелограмм.

Так как $$DE \parallel BC$$, то углы $$\angle AED$$ и $$\angle ABC$$ равны как внутренние накрест лежащие при секущей $$AB$$. Аналогично, из параллельности $$DF \parallel AB$$ получаем равенство соответствующих углов, поэтому треугольники $$AED$$ и $$ABC$$ подобны.

Но $$\triangle ABC$$ равнобедренный, значит $$AB=BC$$, следовательно, и в подобном ему треугольнике $$AED$$ соответствующие стороны равны:

$$AE=ED.$$

Тогда в параллелограмме $$DEBF$$

$$EB+ED=EB+AE=AB=5\text{ м}.$$

Противоположные стороны параллелограмма равны, значит

$$BF+FD=EB+ED=5\text{ м}.$$

Периметр параллелограмма:

$$P_{DEBF}=BF+FD+EB+ED=5+5=10\text{ м}.$$

Ответ: $$10\text{ м}$$.