Упр.14.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности,
больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность;
Решение:
1) Пусть R-радиус данной окружности, а a1 и a2-стороны описанного
и вписанного квадратов соответственно;
2) Выразим стороны квадратов через R по формулам из задачи 13.16:
a1=2r•tg(180°)/n=2R•tg (180°)/4=2R•tg 45°=2R;
a2=2R•sin(180°)/n=2R•sin(180°)/4=2R•sin45°?=2R•v2/2=Rv2;
3) Найдем отношение площадей этих квадратов:
S1/S2 =(a1^2)/(a2^2 )=(4R^2)/(2R^2 )=2;
Ответ: в два раза больше.

Подробный ответ

Пусть $$R$$ — радиус данной окружности, а $$a_1$$ и $$a_2$$ — стороны описанного и вписанного квадратов соответственно.

Для квадрата, описанного около окружности, сторона равна диаметру окружности:

$$a_1=2R.$$

Для квадрата, вписанного в окружность, его диагональ равна диаметру окружности, значит

$$a_2\sqrt{2}=2R,$$

откуда

$$a_2=R\sqrt{2}.$$

Найдём отношение площадей:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a_1^2}{a_2^2}=\frac{(2R)^2}{(R\sqrt{2})^2}=\frac{4R^2}{2R^2}=2.$$

Следовательно, площадь квадрата, описанного около окружности, в 2 раза больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность.