Упр.12.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 4. Даны диагонали параллелограмма с и d и угол между ними а. Найдите стороны параллелограмма

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Тогда $$AC=c$$, $$BD=d$$ и $$\angle AOB=\alpha$$.

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=OC=\frac{c}{2}, \qquad BO=OD=\frac{d}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$ AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB $$

$$ AB^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2-2\cdot \frac{c}{2}\cdot \frac{d}{2}\cdot \cos\alpha $$

$$ AB^2=\frac{c^2}{4}+\frac{d^2}{4}-\frac{cd}{2}\cos\alpha $$

$$ AB=\frac12\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos\alpha}. $$

Теперь рассмотрим треугольник $$BOC$$. Угол $$\angle BOC$$ смежный с углом $$\angle AOB$$, значит

$$\angle BOC=180^\circ-\alpha,\qquad \cos\angle BOC=-\cos\alpha.$$

По теореме косинусов:

$$ BC^2=BO^2+OC^2-2\cdot BO\cdot OC\cdot \cos\angle BOC $$

$$ BC^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2-2\cdot \frac{d}{2}\cdot \frac{c}{2}\cdot (-\cos\alpha) $$

$$ BC^2=\frac{d^2}{4}+\frac{c^2}{4}+\frac{cd}{2}\cos\alpha $$

$$ BC=\frac12\sqrt{c^2+d^2+2cd\cos\alpha}. $$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $$CD=AB$$ и $$AD=BC$$.

Ответ

$$ AB=CD=\frac12\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos\alpha},\qquad BC=AD=\frac12\sqrt{c^2+d^2+2cd\cos\alpha}. $$