Упр.5.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 3: если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он проходит через её середину.

Пусть $$AB$$ — хорда окружности, а $$O$$ — её центр. Диаметр проходит через точку $$C$$ пересечения с хордой и перпендикулярен ей, то есть $$OC \perp AB$$.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности, то треугольник $$AOB$$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также медианой. Значит, $$OC$$ — медиана треугольника $$AOB$$.

Следовательно, $$C$$ — середина хорды $$AB$$, то есть $$AC=CB$$. Значит, диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через её середину, что и требовалось доказать.