Упр.2.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите смежные углы, если: 1) один из них на $$30^\circ$$ больше другого; 2) их разность равна $$40^\circ$$; 3) один из них в три раза меньше другого; 4) они равны.

Пусть $$\angle \alpha$$ и $$\angle \beta$$ — смежные углы. Тогда

$$\angle \alpha+\angle \beta=180^\circ.$$

1. Если один из углов на $$30^\circ$$ больше другого, то пусть $$\angle \alpha=\angle \beta+30^\circ$$. Тогда

   $$\angle \beta+30^\circ+\angle \beta=180^\circ,$$

   $$2\angle \beta=150^\circ,$$

   $$\angle \beta=75^\circ,\qquad \angle \alpha=105^\circ.$$

2. Если разность углов равна $$40^\circ$$, то пусть $$\angle \alpha=\angle \beta-40^\circ$$. Тогда

   $$\angle \beta-40^\circ+\angle \beta=180^\circ,$$

   $$2\angle \beta=220^\circ,$$

   $$\angle \beta=110^\circ,\qquad \angle \alpha=70^\circ.$$

3. Если один из углов в три раза меньше другого, то пусть меньший угол равен $$\angle \beta$$, а больший $$\angle \alpha=3\angle \beta$$. Тогда

   $$3\angle \beta+\angle \beta=180^\circ,$$

   $$4\angle \beta=180^\circ,$$

   $$\angle \beta=45^\circ,\qquad \angle \alpha=135^\circ.$$

4. Если углы равны, то

   $$\angle \alpha=\angle \beta.$$

   Тогда

   $$\angle \beta+\angle \beta=180^\circ,$$

   $$2\angle \beta=180^\circ,$$

   $$\angle \beta=90^\circ,\qquad \angle \alpha=90^\circ.$$

Ответ: 1) $$105^\circ$$ и $$75^\circ$$; 2) $$70^\circ$$ и $$110^\circ$$; 3) $$135^\circ$$ и $$45^\circ$$; 4) $$90^\circ$$ и $$90^\circ$$.