Вопрос 4 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Признак параллельности прямых:
Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних
односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны;
Доказательство:
1) Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние
накрест лежащие углы;
2) Допустим, что прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются
в некоторой точке C;
3) Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости, в одной из
которыхлежит точка C;
4) Построим треугольник BAC1, равный треугольнику ABC с вершиной C1 в другой
полуплоскости;
5) По условию внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b
и секущей AB равны;
6) Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC1 с вершинами
A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами;
7) Значит, прямая AC1 совпадает с прямой a, а прямая BC1 совпадает с
прямой b;
8) Таким образом, через точки C и C1 проходят две различные прямые,
что невозможно, значит наше предположение неверно и прямые a и b
параллельны, первое утверждение доказано.
9) Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних одностронних
углов равна 180°, то внутренние накрестлежащие углы равны, значит
согласно первому доказанному утверждению, прямые a и b параллельны,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Докажем признак параллельности прямых.

1) Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей $$AB$$, и внутренние накрест лежащие углы равны.

2) Предположим, что $$a$$ и $$b$$ не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке $$C$$.

3) Секущая $$AB$$ делит плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка $$C$$.

4) Построим в другой полуплоскости треугольник $$BAC_1$$, равный треугольнику $$ABC$$.

5) По построению соответствующие углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ равны внутренним накрест лежащим углам при прямых $$a$$ и $$b$$ и секущей $$AB$$.

6) Тогда прямая $$AC_1$$ совпадает с прямой $$a$$, а прямая $$BC_1$$ — с прямой $$b$$.

7) Но через точки $$C$$ и $$C_1$$ проходят две различные прямые, что невозможно. Значит, наше предположение неверно, и прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.

8) Если сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$, то каждый из них дополняет другой до развернутого угла, следовательно, внутренние накрест лежащие углы равны. По уже доказанному утверждению, $$a \parallel b$$.