Вопрос 4 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Дополним его до параллелограмма $$ABCD$$, как показано на рисунке.

По свойству параллелограмма $$AD=CB$$ и $$CD=AB$$.

Площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна сумме площадей треугольников $$ABC$$ и $$CDA$$:

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}.$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$. У них $$AC$$ — общая сторона, $$AD=CB$$ и $$CD=AB$$, значит, эти треугольники равны по третьему признаку. Следовательно, их площади равны:

$$S_{ABC}=S_{CDA}.$$

Тогда

$$S_{ABCD}=2S_{ABC},$$

откуда

$$S_{ABC}=\frac12 S_{ABCD}.$$

Высота $$CH$$ параллелограмма $$ABCD$$, проведённая к стороне $$AB$$, является и высотой треугольника $$ABC$$. Поэтому

$$S_{ABCD}=AB\cdot CH,$$

а значит,

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot CH.$$

Итак, площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.