Упр.13.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.
Пусть замкнутая ломаная имеет вершины $$A_1,A_2,\dots,A_n$$, а её длина равна $$L$$. Возьмём любые две вершины, например $$A_1$$ и $$A_k$$.
Тогда замкнутая ломаная распадается на две незамкнутые ломаные с общими концами $$A_1$$ и $$A_k$$:
$$A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_{k-1}A_k$$
и
$$A_1A_n+A_nA_{n-1}+\dots+A_{k+1}A_k.$$
По неравенству треугольника длина отрезка между концами любой ломаной не больше длины самой ломаной, значит
$$A_1A_k \le A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_{k-1}A_k,$$
$$A_1A_k \le A_1A_n+A_nA_{n-1}+\dots+A_{k+1}A_k.$$
Сумма длин этих двух незамкнутых ломаных равна длине всей замкнутой ломаной:
$$\bigl(A_1A_2+\dots+A_{k-1}A_k\bigr)+\bigl(A_1A_n+\dots+A_{k+1}A_k\bigr)=L.$$
Следовательно, хотя бы одна из этих ломаных имеет длину не больше $$\frac{L}{2}$$. Тогда и отрезок $$A_1A_k$$ не больше половины длины замкнутой ломаной:
$$A_1A_k \le \frac{L}{2}.$$
Так как вершины были выбраны произвольно, то расстояние между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной не больше половины её длины.
