Упр.12.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны диагонали параллелограмма $$c$$ и $$d$$ и угол между ними $$\alpha$$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Тогда $$AC=c$$, $$BD=d$$ и $$\angle AOB=\alpha$$.

По свойству диагоналей параллелограмма:

$$AO=OC=\frac{c}{2}, \qquad BO=OD=\frac{d}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB$$

$$AB^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2-2\cdot \frac{c}{2}\cdot \frac{d}{2}\cdot \cos\alpha$$

$$AB^2=\frac{c^2}{4}+\frac{d^2}{4}-\frac{cd}{2}\cos\alpha$$

$$AB=\frac12\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos\alpha}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BOC$$. Угол $$\angle BOC$$ смежный с углом $$\angle AOB$$, значит

$$\angle BOC=180^\circ-\alpha,$$

поэтому

$$\cos\angle BOC=-\cos\alpha.$$

По теореме косинусов:

$$BC^2=BO^2+OC^2-2\cdot BO\cdot OC\cdot \cos\angle BOC$$

$$BC^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2-2\cdot \frac{d}{2}\cdot \frac{c}{2}\cdot (-\cos\alpha)$$

$$BC^2=\frac{d^2}{4}+\frac{c^2}{4}+\frac{cd}{2}\cos\alpha$$

$$BC=\frac12\sqrt{c^2+d^2+2cd\cos\alpha}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$.

Ответ: $$AB=CD=\frac12\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos\alpha}, \qquad BC=AD=\frac12\sqrt{c^2+d^2+2cd\cos\alpha}.$$