Вопрос 4 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: площадь треугольника равна половине произведения его
стороны на высоту, проведенную к этой стороне;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник;
2) Дополним его до параллелограмма ABCD, как показано на рисунке;
3) По свойству параллелограмма: AD=CB и CD=AB;
4) Площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей двух
треугольников ABC и CDA:
5) Рассмотрим треугольники ABC и CDA:
AC-общая сторона, AD=CB и CD=AB, значит эти треугольники
равны по третьему признаку, отсюда следует, что и их площади равны;
6) Тогда площадь параллелограмма ABCD равна:
SABCD=SABC+SCDA=2•SABC , отсюда SABC=1/2•SABCD;
7) Высота CH параллелограмма ABCD, проведенная из вершины C
к стороне AB является и высотой треугольника ABC, значит:
SABC=1/2 (SABCD )=1/2 (AB•CH), что и требовалось доказать.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Дополним его до параллелограмма $$ABCD$$.

По свойству параллелограмма $$AD=CB$$ и $$CD=AB$$. Кроме того, сторона $$AC$$ — общая для треугольников $$ABC$$ и $$CDA$$. Значит, треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равны по третьему признаку, поэтому их площади равны.

Тогда площадь параллелограмма равна сумме площадей этих треугольников:

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=2S_{ABC},$$

откуда

$$S_{ABC}=\frac12 S_{ABCD}.$$

Пусть $$CH$$ — высота параллелограмма $$ABCD$$, проведённая к стороне $$AB$$. Тогда эта же высота является высотой треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$S_{ABCD}=AB\cdot CH,$$

и потому

$$S_{ABC}=\frac12 S_{ABCD}=\frac12 \cdot AB \cdot CH.$$

Итак, площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Ответ

$$S=\frac12 ah$$