Вопрос 4 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ сторонам $$a,b,c$$ противолежат углы $$\alpha,\beta,\gamma$$ соответственно. Докажем сначала, что если $$\alpha>\beta$$, то $$a>b$$.
Рассмотрим два случая.
Если углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ острые, то при большем остром угле синус больше, значит $$\sin\alpha>\sin\beta$$. По теореме синусов
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$
откуда
$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}>1,$$
следовательно, $$a>b$$.
Если угол $$\alpha$$ тупой, то угол $$\beta$$ не может быть тупым, значит он острый. Тогда угол $$180^\circ-\alpha$$ — острый и больше угла $$\beta$$, поэтому
$$\sin(180^\circ-\alpha)>\sin\beta.$$
Но $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$, значит снова $$\sin\alpha>\sin\beta$$. По теореме синусов получаем $$a>b$$.
Теперь докажем обратное: если $$a>b$$, то $$\alpha>\beta$$.
Предположим противное: $$\alpha\le \beta$$. Тогда возможны два случая:
- если $$\alpha=\beta$$, то треугольник равнобедренный и $$a=b$$;
- если $$\alpha<\beta$$, то по уже доказанному из $$\beta>\alpha$$ следует $$b>a$$.
В обоих случаях получаем противоречие с условием $$a>b$$. Значит, предположение неверно, и $$\alpha>\beta$$.
Итак, в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.
