Вопрос 4 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите признак параллельности прямых.

Если внутренние накрест лежащие углы, образованные прямыми $$a$$ и $$b$$ с секущей $$AB$$, равны, то прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.

Докажем это от противного. Предположим, что прямые $$a$$ и $$b$$ не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке $$C$$.

Секущая $$AB$$ делит плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка $$C$$. Построим в другой полуплоскости треугольник $$BAC_1$$, равный треугольнику $$ABC$$.

По условию внутренние накрест лежащие углы при прямых $$a$$ и $$b$$ и секущей $$AB$$ равны. Значит, соответствующие углы треугольников $$ABC$$ и $$BAC_1$$ при вершинах $$A$$ и $$B$$ равны этим накрест лежащим углам.

Следовательно, прямая $$AC_1$$ совпадает с прямой $$a$$, а прямая $$BC_1$$ — с прямой $$b$$. Но тогда через точки $$C$$ и $$C_1$$ проходят две различные прямые, что невозможно.

Получили противоречие. Значит, наше предположение неверно, и прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.

Если сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$, то каждый из них дополняет другой до развернутого угла, а значит, внутренние накрест лежащие углы равны. По уже доказанному признаку отсюда следует, что $$a \parallel b$$.