Вопрос 4 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Пусть угол $$ABC$$ преобразованием подобия с коэффициентом $$k$$ переходит в угол $$A_1B_1C_1$$.

Рассмотрим сначала гомотетию с центром в точке $$B$$ и коэффициентом $$k$$. Тогда точки $$A$$ и $$C$$ перейдут в точки $$A_2$$ и $$C_2$$, причём

$$BA_2=k\cdot BA,\qquad BC_2=k\cdot BC,\qquad A_2C_2=k\cdot AC.$$

Теперь сравним треугольники $$A_2BC_2$$ и $$A_1B_1C_1$$. У них

$$BA_2=B_1A_1,\qquad BC_2=B_1C_1,\qquad A_2C_2=A_1C_1.$$

Следовательно, эти треугольники равны по трём сторонам, значит,

$$\angle A_2BC_2=\angle A_1B_1C_1.$$

Но гомотетия сохраняет углы, поэтому

$$\angle A_2BC_2=\angle ABC.$$

Отсюда

$$\angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$

Значит, преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Свойства преобразования подобия:

• прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки;
• сохраняются углы между полупрямыми.