Вопрос 4 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

I) Свойства преобразования подобия:
1) Преобразования подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в
полупрямые, отрезки в отрезки;
2) Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми;
II) Отобразим условие задачи:
Доказать: преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми;
Доказательство:
1) Пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k
переводится в угол A1 B1 C1;
2) Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его
вершины B с коэффициентом гомотетиии k, при этом точки A и C
перейдут в точки A2 и C2;
3) Рассмотрим треугольники A2 BC2 и A1 B1 C1:
A2 B=A1 B1=k•AB, BC2=B1 C1=k•BC и C2 A2=A1 C1=k•AC, значит
эти треугольники равны по третьему признаку, отсюда:
угол A2 BC2 = углу A1 B1 C1;
4) Следовательно углы ABC и A1 B1 C1 равны, что и требовлось доказать.

Подробный ответ

Преобразование подобия обладает следующими свойствами:

прямые переходят в прямые;
полупрямые переходят в полупрямые;
отрезки переходят в отрезки;
углы между полупрямыми сохраняются.

Докажем последнее свойство.

Пусть угол $$\angle ABC$$ при преобразовании подобия с коэффициентом $$k$$ переходит в угол $$\angle A_1B_1C_1$$.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$B$$ и коэффициентом $$k$$. При этом точки $$A$$ и $$C$$ перейдут в точки $$A_2$$ и $$C_2$$ соответственно.

Тогда

$$A_2B=k\cdot AB,\qquad BC_2=k\cdot BC,\qquad A_2C_2=k\cdot AC.$$

С другой стороны, при преобразовании подобия

$$A_1B_1=k\cdot AB,\qquad B_1C_1=k\cdot BC,\qquad A_1C_1=k\cdot AC.$$

Следовательно, треугольники $$A_2BC_2$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по трём сторонам. Значит,

$$\angle A_2BC_2=\angle A_1B_1C_1.$$

Но угол $$\angle A_2BC_2$$ равен углу $$\angle ABC$$, так как точки $$A_2$$ и $$C_2$$ получены из точек $$A$$ и $$C$$ гомотетией с центром в $$B$$. Поэтому

$$\angle ABC=\angle A_1B_1C_1.$$

Итак, преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.