Упр.9.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Решите предыдущую задачу, пользуясь только циркулем. Построить точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно точки $$A$$, используя только циркуль.

Проведём построение только циркулем.

1. Пусть даны точки $$A$$ и $$B$$.
2. Разведём ножки циркуля на расстояние $$AB$$.
3. Построим окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$. Обозначим одну из точек их пересечения буквой $$C$$.
4. Построим окружность с центром в точке $$C$$ и отметим точку $$D$$ на пересечении этой окружности с окружностью, проведённой из точки $$A$$.
5. Построим окружность с центром в точке $$D$$ и отметим точку $$B’$$ на пересечении этой окружности с окружностью, проведённой из точки $$A$$.

Треугольники $$ABC$$, $$ACD$$ и $$ADB’$$ равносторонние, так как у них все стороны равны $$AB$$. Поэтому

$$\angle CAB=\angle DAC=\angle B’AD=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAB’=\angle CAB+\angle DAC+\angle B’AD=3\cdot 60^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, точки $$B$$, $$A$$ и $$B’$$ лежат на одной прямой, причём $$AB=AB’$$. Значит, точка $$B’$$ симметрична точке $$B$$ относительно точки $$A$$.