Упр.4.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: прямые AB и CD параллельны;
Доказать: если отрезок BC пересекает прямую AD, то точка их
пересечения принадлежит отрезку AD;
Доказательство:
1) Пусть X-точка пересечения отрезка BC с прямой AD;
2) Проведем через точку X прямую x, параллельную прямой CD;
3) Прямая x разбивает плоскость на две полуплоскости, точки B и C
лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок BC пересекает
прямую x в точке X;
4) Точка A лежит в точй же полуплоскости, что и точка B (так как
прямые AB и x параллельны);
5) Согласно теореме 4.1 прямые CD и x также параллельны, значит
точка D лежит в той же полуплоскости, что и точка C;
6) Таким образом точки C и D лежат в разных полуплоскостях, значит
отрезок AD пересекает прямую x (в точке X), то есть точка пересе-
чения прямых BC и AD принадлежит отрезку AD, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — точка пересечения отрезка $$BC$$ с прямой $$AD$$.

Проведём через точку $$X$$ прямую $$x$$, параллельную прямой $$CD$$. Тогда прямая $$x$$ разбивает плоскость на две полуплоскости, и точки $$B$$ и $$C$$ лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок $$BC$$ пересекает прямую $$x$$ в точке $$X$$.

Так как $$AB \parallel CD$$ и $$x \parallel CD$$, то $$AB \parallel x$$. Следовательно, точки $$A$$ и $$B$$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $$x$$.

Аналогично, из $$CD \parallel x$$ следует, что точки $$C$$ и $$D$$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $$x$$.

Значит, точки $$A$$ и $$D$$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $$x$$. Поэтому отрезок $$AD$$ пересекает прямую $$x$$. Но точка пересечения прямых $$BC$$ и $$AD$$ уже обозначена через $$X$$, значит, $$X \in AD$$.

Итак, если отрезок $$BC$$ пересекает прямую $$AD$$, то точка их пересечения принадлежит отрезку $$AD$$.