Упр.3.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Доказать: если у треугольников две стороны и медиана, выходящая из
их общей вершины равны, то эти треугольники равны;
Доказательство:
1) Пусть ABC и A1 B1 C1-данные треугольники, у которых AB=A1 B1,
BC=B1 C1 и BM=B1 M1 (медианы);
2) На прямой MB построим отрезок MB2, равный отрезку MB так, чтобы
точки B и B2 лежали по разные стороны от прямой AC, и аналогично
построим отрезок M1 B3 для треугольник A1 B1 C1;
3) AM=MC и A1 M1=M1 C1 (так как BM и B1 M1 медианы);
4) угол AMB = углу CMB2 и угол A1 M1 B1 = углу C1 M1 B3 (как вертикальные);
5) Треугольники AMB и CMB2 равны по первому признаку, отсюда
CB2=AB;
6) Треугольники A1 M1 B1 и C1 M1 B3 равны по первому признаку, отсюда
C1 B3=A1 B1;
7) Таким образом треугольник BCB2=треугольник B1 C1 B3 по третьему признаку (стороны
BB2 и B1 B3 равны, так как состоят из равных отрезков), отсюда
угол B2 BC = углу B3 B1 C1;
8) треугольник MBC=треугольник M1 B1 C1 по первому признаку, отсюда M1 C1=MC;
9) AC=2MC=2M1 C1=A1 C1;
10) Треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по третьему признаку, что и
требовалось доказать.
Пусть даны треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, в которых $$AB=A_1B_1$$, $$BC=B_1C_1$$, а $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы.
На прямой $$BM$$ отложим отрезок $$MB_2=MB$$ так, чтобы точки $$B$$ и $$B_2$$ лежали по разные стороны от прямой $$AC$$. Аналогично на прямой $$B_1M_1$$ построим точку $$B_3$$ так, что $$M_1B_3=M_1B_1$$ и точки $$B_1$$ и $$B_3$$ лежат по разные стороны от прямой $$A_1C_1$$.
Так как $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, то
$$AM=MC,\qquad A_1M_1=M_1C_1.$$
Углы $$\angle AMB$$ и $$\angle CMB_2$$, а также $$\angle A_1M_1B_1$$ и $$\angle C_1M_1B_3$$ — вертикальные, значит, они равны.
Следовательно, треугольники $$AMB$$ и $$CMB_2$$ равны по первому признаку, откуда
$$AB=CB_2.$$
Аналогично треугольники $$A_1M_1B_1$$ и $$C_1M_1B_3$$ равны по первому признаку, значит
$$A_1B_1=C_1B_3.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$BCB_2$$ и $$B_1C_1B_3$$. У них
$$BC=B_1C_1,$$
$$CB_2=A B=A_1B_1=C_1B_3,$$
а также
$$BB_2=BM+MB_2=BM+MB=B_1M_1+M_1B_3=B_1B_3.$$
Значит, $$\triangle BCB_2=\triangle B_1C_1B_3$$ по третьему признаку, поэтому
$$\angle B_2BC=\angle B_3B_1C_1.$$
Тогда треугольники $$MBC$$ и $$M_1B_1C_1$$ равны по первому признаку, откуда
$$MC=M_1C_1.$$
Но $$AM=MC$$ и $$A_1M_1=M_1C_1$$, значит
$$AC=2MC,\qquad A_1C_1=2M_1C_1,$$
следовательно,
$$AC=A_1C_1.$$
Итак, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны три стороны:
$$AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad AC=A_1C_1.$$
Следовательно, $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$ по третьему признаку равенства треугольников.
Ответ
Треугольники равны по трём сторонам.
