Упр.9.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Два населённых пункта $$K$$ и $$M$$ расположены по разные стороны канала. В каком месте следует построить мост (перпендикулярно берегам канала) и прямолинейные дороги от населённых пунктов к мосту, чтобы путь между данными пунктами был кратчайшим?
Пусть мост пересекает канал в точках $$K_1$$ и $$M_1$$, причём $$K_1M_1$$ перпендикулярен берегам канала. Тогда путь из $$K$$ в $$M$$ через мост равен
$$KK_1+K_1M_1+M_1M.$$
Так как ширина канала постоянна, то длина отрезка $$K_1M_1$$ не зависит от выбора места моста. Значит, нужно сделать наименьшей сумму $$KK_1+M_1M$$.
Построим точку $$M_2$$ так, чтобы $$M_1M_2= M_1M$$ и $$M_1M_2 \perp$$ берегам канала. Тогда отрезок $$M_1M$$ можно мысленно перенести параллельно так, чтобы точка $$M_1$$ совпала с $$K_1$$. Получим
$$KK_1+M_1M=KK_1+K_1M_2.$$
Следовательно, нужно минимизировать сумму $$KK_1+K_1M_2$$. По неравенству треугольника она наименьшая тогда и только тогда, когда точки $$K$$, $$K_1$$ и $$M_2$$ лежат на одной прямой.
Значит, сначала надо отложить от точки $$M$$ перпендикулярно берегам канала отрезок, равный ширине канала, и получить точку $$M_2$$. Затем провести прямую $$KM_2$$. Точка её пересечения с берегом канала, ближайшим к пункту $$K$$, и будет искомым местом постройки моста.
