Упр.7.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

39. Могут ли пересекаться окружности с радиусами $$R_1$$ и $$R_2$$ и расстоянием между центрами $$d$$, если $$R_1+R_2

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей, тогда $$AB=d$$. Предположим, что окружности пересекаются хотя бы в одной точке $$C$$. Тогда $$AC=R_1$$ и $$BC=R_2$$.

Для треугольника $$ABC$$ должно выполняться неравенство треугольника:

$$AB<AC+BC.$$

Подставим известные значения:

$$d<R_1+R_2.$$

Но по условию $$R_1+R_2<d$$, что противоречит полученному неравенству. Значит, предположение неверно, и окружности не пересекаются.

Ответ: не могут.