Упр.5.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Постройте треугольник по стороне и проведённым к ней медиане и высоте.

Подробный ответ

Пусть дана сторона $$BC=a$$. Построим середину $$M$$ отрезка $$BC$$.

Для этого из точек $$B$$ и $$C$$ проведём окружности одинакового радиуса, большего $$\frac a2$$. Через точки их пересечения проведём прямую; она пересечёт $$BC$$ в точке $$M$$, причём $$MB=MC=\frac a2$$.

Теперь построим прямую, на которой будет лежать высота. Для этого на произвольной прямой отметим точку $$H$$ и через неё проведём перпендикуляр к этой прямой. На этом перпендикуляре отложим отрезок $$HA=h$$.

Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$m$$. Её пересечение с прямой, содержащей основание $$BC$$, обозначим через $$M$$. Тогда $$AM=m$$, то есть $$M$$ — середина основания, а значит, $$AM$$ является медианой.

Через точку $$M$$ на основании отложим по обе стороны от неё точки $$B$$ и $$C$$ так, чтобы $$MB=MC=\frac a2$$. Соединим точки $$A$$ и $$B$$, $$A$$ и $$C$$.

Полученный треугольник $$ABC$$ имеет основание $$BC=a$$, медиану $$AM=m$$ и высоту $$AH=h$$, следовательно, он искомый.