Упр.15.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна $$3{,}5\ \text{см}$$, а диагональ боковой грани — $$2{,}5\ \text{см}$$. Найдите объём призмы.

Пусть $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — данная правильная четырёхугольная призма, где $$AC_1=3{,}5$$ см, $$C_1D=2{,}5$$ см.

Так как призма правильная, её основание — квадрат, а боковые грани — прямоугольники.

Проекция отрезка $$C_1D$$ на плоскость основания — это $$CD$$, причём $$CD \perp AD$$. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах $$C_1D \perp AD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC_1$$. По теореме Пифагора:

$$AD=\sqrt{AC_1^2-C_1D^2} =\sqrt{3{,}5^2-2{,}5^2} =\sqrt{12{,}25-6{,}25} =\sqrt6\ \text{см}.$$

Так как основание — квадрат, то

$$DC=AD=\sqrt6\ \text{см}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$DCC_1$$ находим высоту призмы:

$$CC_1=\sqrt{C_1D^2-DC^2} =\sqrt{2{,}5^2-6} =\sqrt{6{,}25-6} =\sqrt{0{,}25} =0{,}5\ \text{см}.$$

Площадь основания равна

$$S_{\text{осн}}=AD^2=6\ \text{см}^2.$$

Тогда объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=6\cdot 0{,}5=3\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$3\ \text{см}^3$$.