Упр.7.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: расстояние между центрами окружностей равно d, а их
радиусы равны R1 и R2, при этом R1+R2 < d; Выяснить: могут ли эти окружности пересекаться; Решение: 1) Пусть точки A и B-центры этих окружностей, тогда: AB=d; 2) Допустим, что окружности пересекаются по крайней мере в одной точке-C, тогда: AC=R1 и BC=R2; 3) Согласно неравенству треугольника для треугольник ABC: AB < BC+AC = > d < R2+R1, что противоречит условиию; 4) Значит наше предположение неверно, следовательно данные окружности не пересекаются ни в какой точке; Ответ: не могут.

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей, тогда $$AB=d$$. Предположим, что окружности пересекаются хотя бы в одной точке $$C$$. Тогда $$AC=R_1$$ и $$BC=R_2$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По неравенству треугольника

$$AB<AC+BC.$$

Подставляя значения, получаем

$$d<R_1+R_2.$$

Но по условию $$R_1+R_2<d$$. Получили противоречие. Значит, предположение неверно, и окружности не пересекаются.

Ответ

Не могут.