Упр.14.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В равнобокой трапеции большее основание равно $$44\ \text{м}$$, боковая сторона $$17\ \text{м}$$ и диагональ $$39\ \text{м}$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — равнобокая трапеция, где $$AD \parallel BC$$, $$AD=44$$ м, $$AB=CD=17$$ м, $$AC=39$$ м.

Найдём площадь треугольника $$ACD$$ по формуле Герона:

$$p=\frac{17+39+44}{2}=50$$

$$S_{ACD}=\sqrt{50\cdot(50-17)\cdot(50-39)\cdot(50-44)}$$

$$S_{ACD}=\sqrt{50\cdot33\cdot11\cdot6}=330\ \text{м}^2$$

Опустим из вершин $$B$$ и $$C$$ высоты $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на основание $$AD$$. Тогда $$BB_1=CC_1=h$$ — высота трапеции.

Из формулы площади треугольника $$ACD$$:

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot CC_1$$

$$330=\frac12\cdot44\cdot h$$

$$h=\frac{2\cdot330}{44}=15\ \text{м}$$

В прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$:

$$AB_1=\sqrt{AB^2-BB_1^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8\ \text{м}$$

Так как трапеция равнобокая, то $$\angle A=\angle D$$, значит соответствующие прямоугольные треугольники по бокам равны, и поэтому $$DC_1=AB_1=8$$ м.

Тогда

$$BC=AD-AB_1-DC_1=44-8-8=28\ \text{м}$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{44+28}{2}\cdot15=36\cdot15=540\ \text{м}^2$$

Ответ: $$540\ \text{м}^2$$.