Упр.5.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и
высоте;
Построение:
1) Пусть даны отрезок a, равный основанию треугольника, отрезок h,
равный высоте треугольника и отрезок m, равный медиане треугольника.
2) Отметим середину отрезка a, для чего:
— Проведем из его концов окружности одинакового радиуса;
— Через точки их пересечения проведем отрезок;
— Середина отрезка a находится на пересечении этих отрезков:
3) На произвольной прямой отметим точку H;
4) Из точки H проведем окружность произвольного радиуса;
5) Из точек пересечения этой окружности и прямой проведем две
окружности одинакового радиуса;
6) Через точки пересечения этих окружностей проведем вторую
прямую, она перпендикулярна первой прямой;
7) Из точки H проведем окружность радиуса h, отметим точку A на
пересечении этой окружности и второй прямой;
8) Из точки A проведем окружность радиуса m и отметим точку M
на пересечении этой окружности и первой прямой;
9) Из точки M проведем окружность с радиусом, раным половине длины
отрезка a и отметим точки B и C на пересечении этой окружности и
первой прямой;
10) Треугольник ABC искомый.

Подробный ответ

Обозначим данную сторону треугольника через $$a$$, медиану к ней — через $$m$$, высоту — через $$h$$.

1. Построим отрезок $$BC=a$$.

2. Найдём середину отрезка $$BC$$. Для этого из точек $$B$$ и $$C$$ проведём окружности одинакового радиуса; через точки их пересечения проведём прямую. Она пересечёт $$BC$$ в его середине $$M$$.

3. Через точку $$M$$ проведём прямую, на которой будет лежать медиана.

4. На этой прямой отметим точку $$A$$ так, чтобы $$AM=m$$.

5. Через точку $$A$$ проведём прямую, перпендикулярную прямой $$BC$$. На ней отложим $$AH=h$$, где $$H$$ — основание высоты.

6. На прямой $$BC$$ отметим точки $$B$$ и $$C$$ так, чтобы $$MB=MC=\dfrac{a}{2}$$.

7. Соединим точки $$A$$ с $$B$$ и $$C$$. Получим треугольник $$ABC$$.

Поскольку $$M$$ — середина $$BC$$, отрезок $$AM$$ является медианой, а $$AH \perp BC$$ и $$AH=h$$, то $$AH$$ — высота треугольника. Следовательно, построен искомый треугольник.