Упр.10.38 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Пусть дан параллелограмм $$ABCD$$. Докажем, что

$$AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2).$$

По свойству параллелограмма $$\vec{AD}=\vec{BC}$$, а также

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC},$$

$$\vec{BD}=\vec{BC}-\vec{AB}.$$

Возведём эти равенства в квадрат:

$$AC^2=(\vec{AB}+\vec{BC})^2=AB^2+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+BC^2,$$

$$BD^2=(\vec{BC}-\vec{AB})^2=BC^2-2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+AB^2.$$

Сложим полученные равенства:

$$AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2=2(AB^2+BC^2).$$

Так как в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, то можно также записать:

$$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.$$

Что и требовалось доказать.