Упр.10.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что если $$a$$ и $$b$$ — единичные неколлинеарные векторы, то векторы $$a+b$$ и $$a-b$$ отличны от нуля и перпендикулярны.

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — единичные неколлинеарные векторы. Тогда $$|\vec a|=|\vec b|=1$$.

Найдём скалярное произведение векторов $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$:

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b) = \vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b = |\vec a|^2-|\vec b|^2.$$

Так как $$|\vec a|=|\vec b|=1$$, получаем

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=1-1=0.$$

Значит, векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ перпендикулярны.

Осталось показать, что они отличны от нуля. Если бы $$\vec a+\vec b=\vec 0$$, то $$\vec a=-\vec b$$, а это означало бы коллинеарность векторов $$\vec a$$ и $$\vec b$$, что противоречит условию. Аналогично, из равенства $$\vec a-\vec b=\vec 0$$ следовало бы $$\vec a=\vec b$$, то есть снова коллинеарность. Следовательно, оба вектора ненулевые.

Итак, $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ отличны от нуля и перпендикулярны.