Упр.9.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Для снабжения водой двух населённых пунктов, расположенных по одну сторону канала, надо построить на его берегу водонапорную башню. Где должна находиться башня, чтобы суммарная длина труб от неё до населённых пунктов (по прямой) была наименьшей?

Подробный ответ

Обозначим берег канала прямой $$a$$, а населённые пункты — точками $$A$$ и $$B$$.

Построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$a$$. Пусть отрезок $$BB’$$ пересекает прямую $$a$$ в точке $$M$$. Тогда $$BM=MB’$$ и $$BB’\perp a$$.

Проведём прямую $$AB’$$ и обозначим через $$O$$ точку её пересечения с прямой $$a$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BMO$$ и $$B’MO$$. У них:

$$BM=MB’$$;
$$MO$$ — общий катет;
$$\angle BMO=\angle B’MO=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle BMO \cong \triangle B’MO$$, значит $$BO=OB’$$.

Тогда

$$AO+OB=AO+OB’=AB’.$$

Теперь возьмём любую другую точку $$X$$ на прямой $$a$$, отличную от $$O$$. Для треугольника $$AXB’$$ по неравенству треугольника имеем

$$AX+XB’>AB’.$$

Но $$XB’=XB$$, так как точки $$B$$ и $$B’$$ симметричны относительно прямой $$a$$. Значит,

$$AX+XB>AB’=AO+OB.$$

Следовательно, сумма расстояний от точки $$O$$ до пунктов $$A$$ и $$B$$ наименьшая.

Значит, водонапорную башню нужно расположить в точке $$O$$ — в точке пересечения прямой $$a$$ с прямой, соединяющей $$A$$ и точку $$B’$$, симметричную $$B$$ относительно берега канала.