Упр.3.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Треугольники $$ABC$$ и $$BAD$$ равны, причём точки $$C$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ (рис. 67). Докажите, что: 1) треугольники $$СВВ$$ и $$ВАС$$ равны; 2) прямая $$СВ$$ делит отрезок $$АВ$$ пополам.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC \cong \triangle BAD,$$ то

$$AC=BD,\quad BC=AD,\quad \angle BAC=\angle ABD.$$

Рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$DAC.$$ У них

$$CD$$ — общая сторона, $$BC=AD,$$ $$BD=AC.$$

Следовательно, $$\triangle CBD \cong \triangle DAC$$ по третьему признаку. Отсюда

$$\angle BDC=\angle ACD.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD.$$ По условию $$AO=OD,$$ а углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ равны как вертикальные. Кроме того, из равенства треугольников $$CBD$$ и $$DAC$$ получаем равенство соответствующих углов при вершинах $$C$$ и $$D,$$ поэтому треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$ равны по второму признаку.

Значит,

$$AC=BD.$$

Тогда в треугольниках $$ABC$$ и $$DCB$$ имеем:

$$BC$$ — общая сторона, $$AC=BD,$$ $$AB=CD.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle DCB$$ по третьему признаку.

Отсюда соответствующие медианы к равным сторонам равны, а значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то есть

$$AO=OB.$$

Итак, прямая $$CO$$ делит отрезок $$AB$$ пополам.