Упр.4.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AB$$ биссектриса внешнего угла при вершине $$C$$ лежит на прямой $$CD$$.

Так как треугольник равнобедренный, то $$\angle A=\angle B$$.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних несмежных углов, поэтому

$$\angle C’=\angle A+\angle B.$$

Поскольку $$CD$$ — биссектриса внешнего угла $$\angle C’$$, имеем

$$\angle DCA=\frac{1}{2}\angle C’.$$

Тогда

$$\angle DCB=\angle DCA+\angle ACB =\frac{1}{2}\angle C’+\angle C =\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)+\angle C.$$

Но $$\angle A=\angle B$$, значит

$$\angle DCB=\angle A+\angle C.$$

С другой стороны, внешний угол при вершине $$B$$, образованный прямой $$AB$$ и продолжением стороны $$BC$$, равен

$$\angle B’=\angle A+\angle C.$$

Следовательно, $$\angle DCB=\angle B’$$ — это накрест лежащие углы при прямых $$DC$$ и $$AB$$ и секущей $$CB$$. Значит,

$$DC\parallel AB.$$