Упр.9.37 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: два населенных пункта находятся по одну сторону канала;
Найти: где на берегу канала должна находиться водонапорная башня,
чтобы сумма растояний от нее до этих пунктов была наименьшей;
Решение:
1) Выразим данный канал через прямую a, а населенные пункты через
точки A и B;
2) Отметим точку B’ симметричную точке B относительно прямой a;
3) Пусть отрезок BB’ пересекает прямую a в точке M, тогда:
BM=MB’ и BB’ перпендикулярен a;
4) Проведем прямую AB’, она пересечет прямую a в точке O;
5) Прямоугольные треугольники BMO и B’ MO равны по двум катетам,
отсюда: BO=OB’;
6) AO+OB=AO+OB’=AB’;
7) Отметим на прямой a произвольную точку X, не совпадающую с O;
8) По неравенству треугольника для треугольник AXB’: AX+XB’ > AB’;
9) Таким образом, сумма расстояний от точки O до точек A и B минимальна,
значит эта точка-место, в котором следует расположить башню;

Обозначим берег канала прямой $$a$$, а населённые пункты — точками $$A$$ и $$B$$.

Построим точку $$B’$$, симметричную точке $$B$$ относительно прямой $$a$$. Тогда прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$BB’$$.

Проведём прямую $$AB’$$ и обозначим точку её пересечения с прямой $$a$$ через $$O$$.

Так как точки $$B$$ и $$B’$$ симметричны относительно $$a$$, то $$BO=OB’$$. Поэтому

$$AO+OB=AO+OB’=AB’.$$

Теперь возьмём любую другую точку $$X$$ на прямой $$a$$, отличную от $$O$$. Для треугольника $$AXB’$$ по неравенству треугольника имеем

$$AX+XB’>AB’.$$

Но $$XB’=XB$$, значит

$$AX+XB>AB’.$$

Следовательно, сумма расстояний от точки $$X$$ до пунктов $$A$$ и $$B$$ больше, чем у точки $$O$$.

Значит, водонапорную башню нужно расположить в точке $$O$$ — в точке пересечения берега канала с прямой, соединяющей $$A$$ и отражённую точку $$B’$$.

Ответ

Башню следует построить в точке пересечения берега канала с прямой $$AB’$$, где $$B’$$ — точка, симметричная $$B$$ относительно берега канала.