Упр.9.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Как изменится ответ к предыдущей задаче, если населённые пункты находятся в вершинах выпуклого четырёхугольника? Четыре населённых пункта расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. В каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от неё до всех данных пунктов была наименьшей?

Обозначим населённые пункты вершинами выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ и рассмотрим точку $$O$$ — точку пересечения его диагоналей.

Тогда

$$AO+OC=AC,\qquad BO+OD=BD,$$

значит,

$$AO+BO+CO+DO=AC+BD.$$

Возьмём произвольную точку $$X$$, отличную от $$O$$. По неравенству треугольника в треугольниках $$ACX$$ и $$BDX$$ имеем

$$XA+XC>AC,$$

$$XB+XD>BD.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$XA+XB+XC+XD>AC+BD.$$

А для точки $$O$$ сумма расстояний равна $$AC+BD$$, то есть меньше, чем для любой другой точки. Следовательно, искомое место для постройки фабрики — точка пересечения диагоналей четырёхугольника.

Ответ: в точке пересечения диагоналей четырёхугольника.