Упр.8.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Составьте уравнение прямой $$AB$$, если: 1) $$A(2; 3)$$, $$B(3; 2)$$; 2) $$A(4; -1)$$, $$B(-6; 2)$$; 3) $$A(5; -3)$$, $$B(-1; -2)$$.

Уравнение прямой будем искать в виде $$ax+by+c=0.$$

Координаты каждой из данных точек должны удовлетворять этому уравнению.

1. Для точек $$A(2;3)$$ и $$B(3;2)$$ получаем систему:

   $$\begin{cases} 2a+3b+c=0,\\ 3a+2b+c=0. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$a-b=0,\quad b=a.$$

   Подставим $$b=a$$ в первое уравнение:

   $$2a+3a+c=0,\quad c=-5a.$$

   Тогда

   $$ax+ay-5a=0.$$

   Разделим на $$a$$:

   $$x+y-5=0.$$

2. Для точек $$A(4;-1)$$ и $$B(-6;2)$$ получаем систему:

   $$\begin{cases} 4a-b+c=0,\\ -6a+2b+c=0. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$-10a+3b=0,\quad 10a=3b,\quad a=0{,}3b.$$

   Подставим $$a=0{,}3b$$ в первое уравнение:

   $$4\cdot 0{,}3b-b+c=0,$$

   $$1{,}2b-b+c=0,\quad 0{,}2b+c=0,\quad c=-0{,}2b.$$

   Тогда

   $$0{,}3bx+by-0{,}2b=0.$$

   Разделим на $$b$$ и умножим на $$10$$:

   $$3x+10y-2=0.$$

3. Для точек $$A(5;-3)$$ и $$B(-1;-2)$$ получаем систему:

   $$\begin{cases} 5a-3b+c=0,\\ -a-2b+c=0. \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$6a-b=0,\quad b=6a.$$

   Подставим $$b=6a$$ в первое уравнение:

   $$5a-3\cdot 6a+c=0,$$

   $$-13a+c=0,\quad c=13a.$$

   Тогда

   $$ax+6ay+13a=0.$$

   Разделим на $$a$$:

   $$x+6y+13=0.$$

Ответ: $$1)~x+y-5=0; \quad 2)~3x+10y-2=0; \quad 3)~x+6y+13=0.$$