Упр.6.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, у которого

$$AB=BC=CD=DA.$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. Они равнобедренные, так как $$AB=BC$$ и $$AD=DC$$.

Пусть $$O$$ — середина диагонали $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BO$$ является и медианой, и высотой, значит

$$BO\perp AC.$$

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $$ADC$$ отрезок, проведённый из вершины $$D$$ к середине $$AC$$, тоже является высотой. Следовательно, эта же прямая проходит через точку $$O$$, и

$$DO\perp AC.$$

Значит, точки $$B$$, $$O$$ и $$D$$ лежат на одной прямой, то есть $$BD\perp AC$$.

Кроме того, в равнобедренном треугольнике $$BCD$$ отрезок $$CO$$ является медианой, поэтому $$O$$ — середина диагонали $$BD$$. Следовательно, диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся пополам.

Итак, $$ABCD$$ — параллелограмм. Но у него все стороны равны, значит это ромб.

Ответ: четырёхугольник с равными сторонами является ромбом.