Упр.3.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что прямые $$AB$$ и $$CD$$ перпендикулярны.
Треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ равны по третьему признаку, так как $$AC=AD$$, $$BC=BD$$, а $$AB$$ — общая сторона. Значит, соответствующие углы равны:
$$\angle BAC=\angle ABD,\qquad \angle BCA=\angle ADB.$$
Из равенства треугольников также следует, что
$$\angle CAD=\angle CAB+\angle BAD.$$
Так как $$\angle BAC=\angle ABD$$, то луч $$AB$$ делит угол $$CAD$$ пополам, то есть является его биссектрисой.
Рассмотрим треугольник $$CAD$$. Он равнобедренный, поскольку $$AC=AD$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является одновременно высотой. Следовательно, если $$O$$ — точка пересечения $$AB$$ и $$CD$$, то
$$AO\perp CD.$$
Но отрезок $$AO$$ лежит на прямой $$AB$$, значит, и прямая $$AB$$ перпендикулярна прямой $$CD$$:
$$AB\perp CD.$$
