Упр.15.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

В прямом параллелепипеде стороны основания $$2\sqrt{2}$$ см и $$5$$ см образуют угол $$45^\circ$$. Меньшая диагональ параллелепипеда равна $$7$$ см. Найдите его объём.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — данный прямой параллелепипед, где $$AB=2\sqrt2$$ см, $$AD=5$$ см, $$\angle BAD=45^\circ$$, а меньшая диагональ параллелепипеда равна $$7$$ см.

Найдём площадь основания $$ABCD$$. Основание — параллелограмм, поэтому

$$S_{осн}=AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD.$$

Тогда

$$S_{осн}=2\sqrt2\cdot 5\cdot \frac{\sqrt2}{2}=10\ \text{см}^2.$$

Найдём диагональ основания $$BD$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle BAD,$$

$$BD^2=(2\sqrt2)^2+5^2-2\cdot 2\sqrt2\cdot 5\cdot \frac{\sqrt2}{2}=8+25-20=13.$$

Значит, $$BD=\sqrt{13}$$.

Так как параллелепипед прямой, то боковое ребро перпендикулярно основанию, и в прямоугольном треугольнике с гипотенузой, равной меньшей диагонали параллелепипеда, получаем:

$$h=\sqrt{7^2-BD^2}=\sqrt{49-13}=\sqrt{36}=6\ \text{см}.$$

Теперь найдём объём:

$$V=S_{осн}\cdot h=10\cdot 6=60\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$60\ \text{см}^3$$.