Упр.14.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.
2. Диагонали трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ равновеликие.

1) Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По свойствам параллелограмма:

$$AB=CD,\quad AD=BC,\quad AO=OC,\quad BO=OD=\frac12 BD.$$

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них:

$$AB=CD,\quad AO=OC,\quad BO=OD.$$

Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по третьему признаку, значит

$$S_{AOB}=S_{COD}.$$

Аналогично, $$\triangle AOD \cong \triangle COB$$, поэтому

$$S_{AOD}=S_{COB}.$$

Теперь опустим перпендикуляр $$AH$$ на диагональ $$BD$$. Тогда для треугольников $$AOB$$ и $$AOD$$ высота одна и та же — $$AH$$, а основания $$BO$$ и $$OD$$ равны. Поэтому

$$S_{AOB}=\frac12\cdot BO\cdot AH,\qquad S_{AOD}=\frac12\cdot OD\cdot AH,$$

откуда

$$S_{AOB}=S_{AOD}.$$

Итак,

$$S_{AOB}=S_{COD}=S_{COB}=S_{AOD},$$

то есть диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.

2) Пусть диагонали трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Из вершин $$B$$ и $$C$$ опустим перпендикуляры $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на прямую $$AD$$. Так как $$BC \parallel AD$$, то расстояния между этими параллельными прямыми равны, значит

$$BB_1=CC_1=h.$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$DCA$$:

$$S_{ABD}=\frac12\cdot AD\cdot BB_1=\frac12\cdot AD\cdot h,$$

$$S_{DCA}=\frac12\cdot AD\cdot CC_1=\frac12\cdot AD\cdot h.$$

Следовательно,

$$S_{ABD}=S_{DCA}.$$

Но

$$S_{ABD}=S_{AOB}+S_{AOD},$$

$$S_{DCA}=S_{COD}+S_{AOD}.$$

Тогда из равенства площадей получаем

$$S_{AOB}=S_{COD}.$$

Значит, треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ равновеликие.