Упр.8.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 36. Составьте уравнение прямой АВ, если: 1) А (2; 3), В (3; 2); 2) А (4; -1), В (-6; 2); 3) А (5; -3), В (-1; -2).

Уравнение прямой будем искать в общем виде:

$$ax+by+c=0.$$

Так как точки прямой $$A$$ и $$B$$ ей принадлежат, их координаты удовлетворяют этому уравнению.

1) $$A(2;3),\ B(3;2).$$ Тогда

$$ \begin{cases} 2a+3b+c=0,\\ 3a+2b+c=0. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$3a+2b+c-(2a+3b+c)=0,$$

$$a-b=0,\quad b=a.$$

Подставим $$b=a$$ в первое уравнение:

$$2a+3a+c=0,$$

$$5a+c=0,\quad c=-5a.$$

Тогда уравнение прямой:

$$ax+ay-5a=0.$$

Разделим на $$a$$:

$$x+y-5=0.$$

2) $$A(4;-1),\ B(-6;2).$$ Тогда

$$ \begin{cases} 4a-b+c=0,\\ -6a+2b+c=0. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$-6a+2b+c-(4a-b+c)=0,$$

$$-10a+3b=0,\quad 10a=3b,\quad a=\frac{3}{10}b.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$4\cdot \frac{3}{10}b-b+c=0,$$

$$\frac{12}{10}b-b+c=0,$$

$$\frac{2}{10}b+c=0,\quad c=-\frac{1}{5}b.$$

Тогда

$$\frac{3}{10}bx+by-\frac{1}{5}b=0.$$

Умножим на $$10$$ и разделим на $$b$$:

$$3x+10y-2=0.$$

3) $$A(5;-3),\ B(-1;-2).$$ Тогда

$$ \begin{cases} 5a-3b+c=0,\\ -a-2b+c=0. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$5a-3b+c-(-a-2b+c)=0,$$

$$6a-b=0,\quad b=6a.$$

Подставим $$b=6a$$ в первое уравнение:

$$5a-3\cdot 6a+c=0,$$

$$5a-18a+c=0,$$

$$-13a+c=0,\quad c=13a.$$

Тогда

$$ax+6ax+13a=0.$$

Разделим на $$a$$:

$$x+6y+13=0.$$

Ответ

1) $$x+y-5=0$$; 2) $$3x+10y-2=0$$; 3) $$x+6y+13=0$$.