Упр.13.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правильного $$n$$-угольника равны $$r_1$$ и $$R_1$$, а радиус вписанной окружности другого правильного $$n$$-угольника равен $$r_2$$. Чему равен радиус описанной окружности другого $$n$$-угольника?

Пусть стороны данных правильных $$n$$-угольников равны $$a_1$$ и $$a_2$$ соответственно. Тогда по свойству правильных многоугольников они подобны, значит

$$\frac{a_1}{a_2}=k.$$

Для радиусов вписанных окружностей имеем:

$$r_1=\frac{a_1}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r_2=\frac{a_2}{2\tg\frac{180^\circ}{n}}.$$

Следовательно,

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{a_1}{a_2}=k.$$

Для радиусов описанных окружностей:

$$R_1=\frac{a_1}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad R_2=\frac{a_2}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$

Значит,

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{a_1}{a_2}=k.$$

Отсюда

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{R_1}{R_2}.$$

Тогда

$$R_2=\frac{R_1r_2}{r_1}.$$

Ответ: $$\frac{R_1r_2}{r_1}$$.