Упр.11.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Пусть $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$ Тогда соответствующие стороны пропорциональны, то есть существует число $$k$$ такое, что

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1C_1}{AC}=k.$$

Отсюда

$$A_1B_1=k\cdot AB,\quad B_1C_1=k\cdot BC,\quad A_1C_1=k\cdot AC.$$

Сложим равные отношения для сторон:

$$P_{A_1B_1C_1}=A_1B_1+B_1C_1+A_1C_1=k(AB+BC+AC).$$

Но $$P_{ABC}=AB+BC+AC,$$ значит

$$P_{A_1B_1C_1}=k\cdot P_{ABC}.$$

Следовательно,

$$\frac{P_{A_1B_1C_1}}{P_{ABC}}=k,$$

то есть периметры подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.