Упр.6.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: четырехугольник, у которого все стороны равны, является
ромбом;
Доказтельство:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник, у которого:
AB=BC=CD=DA;
2) Треугольник ABC-равнобедренный, проведем его высоту BO, она
также является и медианой, значит: AO=OC;
3) Треугольник ADC-равнобедренный, проведем его высоту DO1, она
также является и медианой, значит: AO1=O1 C;
4) Таким образом, точки O и O1 совпадают, тогда: AC перпендикулярен BD;
5) Треугольник BCD-равнобедренный и CO-его высота, она также
является и медианой, значит: BO=OD;
6) У четырехугольника ABCD диагонали точкой пересечения делятся
пополам, значит он является параллелограммом, а так как все его
стороны равны, то он является ромбом, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, у которого

$$AB=BC=CD=DA.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Он равнобедренный, так как $$AB=BC$$. Проведём высоту $$BO$$ к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, значит

$$AO=OC.$$

Аналогично, треугольник $$ADC$$ равнобедренный, так как $$AD=DC$$. Проведём высоту $$DO_1$$ к основанию $$AC$$. Тогда она тоже является медианой, поэтому

$$AO_1=O_1C.$$

Следовательно, точки $$O$$ и $$O_1$$ совпадают. Значит, прямая $$BD$$ проходит через середину диагонали $$AC$$ и перпендикулярна ей, то есть диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся пополам.

Но если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. А так как у него все стороны равны, то это ромб.