Упр.9.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Четыре населённых пункта расположены в вершинах параллелограмма. В каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от неё до всех четырёх данных пунктов была наименьшей?

Обозначим вершины параллелограмма через $$A,B,C,D$$, а точку пересечения его диагоналей — через $$O$$. Эта точка является центром симметрии параллелограмма.

Тогда

$$AO+OC=AC,\qquad BO+OD=BD,$$

значит

$$AO+BO+CO+DO=AC+BD.$$

Возьмём произвольную точку $$X$$, не совпадающую с $$O$$. По неравенству треугольника имеем:

$$XA+XC>AC,$$

$$XB+XD>BD.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$XA+XB+XC+XD>AC+BD.$$

Следовательно, сумма расстояний от точки $$X$$ до всех четырёх вершин параллелограмма больше, чем от точки $$O$$. Значит, наименьшая сумма расстояний получается в точке пересечения диагоналей параллелограмма.

Ответ: в точке пересечения диагоналей параллелограмма, то есть в его центре.